{1.i} Richiami sugli spazi di Banach e di Hilbert. Prodotto scalare, ortogonalita', norma. Lo spazio L2 delle funzioni a quadrato sommabile. Proiezione ortogonale su un sottospazio.
{1.ii} Problemi di Sturm-Liouville (e loro relazione con l' equazione di Laplace): autovalori, autofunzioni e loro proprieta'.
{2.i} Operatori lineari limitati: definizione, proprieta', esempi. Nucleo e rango di un operatore. Spettro di un operatore. Spettro puntuale e spettro discreto.
{2.ii) Basi ortonormali negli spazi di Hilbert. Sviluppo in autofunzioni di operatori differenziali. Esempio: Serie di Fourier.
{3.i} Operatori compatti e operatori autoaggiunti: definizione, proprieta', esempi. Operatori integrali. Operatori di rango finito. Operatori di Proiezione.
{3.ii} Funzione di Green: equivalenza tra problemi di Sturm-Liouville e equazioni integrali di Fredholm.
{4.i} Alternativa di Fredholm. Proprieta' fondamentali dello spettro s di un operatore compatto autoaggiunto: $\sigma\setminus\lbrace 0 \rbrace$ e' non vuoto e discreto.
{4.ii} Esempi: Spettro di operatori di Sturm-Liouville. Autovalori del laplaciano (vibrazioni di una membrana con bordo fisso).
{5.i} Decomposizione spettrale degli operatori compatti autoaggiunti. Esistenza di una base ortonormale costituita di autovettori: diagonalizzazione.
{5.ii} Proprieta' variazionali e Principio di Minimax: gli autovalori come valori estremi della forma quadratica associata all' operatore.
Bibliografia essenziale
sull' argomento e su tematiche piu' generali come Analisi Funzionale, Teoria degli Operatori, Equazioni differenziali della Fisica Matematica :
R. Courant, D. Hilbert: Methods of mathematical physics (2 volumi), Interscience 1962. (M)
M. Reed, B. Simon: Methods of modern mathematical physics (4 volumi), Academic Press 1972-1979. (M)
N. Akhiezer, I. Glazman: Theory of linear operators in Hilbert space, Pitman 1980. (M)
H. Brezis: Analisi funzionale, Liguori 1986. (M)
N. Dunford, J. T. Schwartz: Linear operators (3 volumi), Interscience 1958. (A)
T. Kato: Perturbation theory for linear operators, Springer 1976. (A)
A. Kolmogorov, S. Fomin: Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale, Mir 1980.
F. Riesz, B. Nagy: Lecons d' analyse fonctionnelle, Gauthier-Villars 1972. ({\bf M})
W. Rudin, Analisi reale e complessa, Boringhieri 1974. (E)
H. Weinberger, A first course in partial differential equations, Blaisdell 1975. (E)
Grado di difficolta': E =elementare; M = medio; A = avanzato.